양자역학의 핵심

복소평면과 힐베르트 공간

임성민 , 정문교

봄꽃여름숲가을열매겨울뿌리

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9791187679387

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Publication Date	2025/02/02
Pages/Weight/Size	14021030mm
ISBN	9791187679387
Categories	자연과학

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Description

양자역학의 양대 산맥은? 파동역학과 행렬역학입니다. 디랙은 행렬역학과 파동역학을 통합한 물리학자죠. 그는 힐베르트 공간을 중심으로 파동역학과 행렬역학은 원리가 같다는 걸 수리적으로 밝혔습니다. 모두 허수로 된 상태벡터라는 점을 파악했죠. 파동역학은 위치 x를 기저벡터로 해서 연속적 미분방정식이 되었고 행렬역학은 불연속 에너지를 기저로 삼아서 행렬이 된 점을 밝혔습니다.

디랙은 상태벡터를 간결하게 기술할 수 있는 디랙 표기법을 고안해 양자역학 기법을 세련화했습니다. 나아가 조화진동 에너지를 올림연산자, 내림연산자로 구분했죠. 디랙의 연산자를 이용하면 전자의 조화진동 방정식을 풀 수 있습니다. 관건은? 연산자 해법 과정을 이해하기 어렵다는 겁니다. 양자 조화진동을 연산자로 푼 과정은 파악하기 어렵습니다.

힐베르트 공간은 복소평면에 바탕을 두고 있습니다. 복소평면은 x축인 실수 축과 y축인 허수 축이 같은 방식으로 펼쳐집니다. 힐베르트 공간은 x축과 y축이 진동하면서 무한차원을 만듭니다. 양자는 시공간 세계에서 매 순간 요동합니다. 요동하는 힐베르트 공간은 양자가 생성되고 소멸하는 공간입니다. 힐베르트 공간은 시간과 공간이 수직축에서 서로 얽히며 쉬지 않고 조화진동 합니다.

양자역학을 제대로 이해하려면? 복소평면의 복소함수, 힐베르트 공간으로 다가가야 합니다. 이 책에는 힐베르트 공간에서 파동역학과 행렬역학이 무한차원의 벡터 이론으로 수렴하는 과정이 깔끔하게 정리돼 있습니다. 물리현상으로는 파악하기 어려운 미시세계를 깊숙이 들여다볼 수 있습니다.

Contents

시간과 공간의 물리학

뉴턴역학 & 운동법칙
미분방정식
보조법칙
뉴턴역학 : 현대 물리의 초석

절대 시간 & 절대 공간
유클리드 공간
갈릴레이 변환 : 관성계의 평행 이동
빛 속도 c

4차원 시공간 & 리만 공간
휘어지는 시공간
민코프스키의 4차원 시공간
4차원 좌표계

양자역학 & 힐베르트 공간
h : 양자역학의 출발점
양자역학의 시간과 공간
플랑크 상수
h : 진동하는 에너지양자 / h와 천칭
최소 에너지 & 에너지의 불연속
h : 복소평면의 물리량

행렬역학 & 파동역학

양자역학의 두 갈래
파동역학 : 행렬역학
힐베르트 공간
n : 정체성을 갖는 양자

파동역학
무한차원 시공간
F=ma의 시간
i가 없는 텐서
양자 시공간
파동역학 & 물질파
물질파 : 상상의 산물

파동함수 ψ(x, t)
슈뢰딩거 파동방정식
h의 물리량 : 양자파동방정식
양자파동 유도 과정
H & 시간독립 슈뢰딩거 방정식

힐베르트 공간 & 행렬역학
힐베르트 : 무한차원 공간
힐베르트 공간 : 요동하는 양자 시공간
미시와 거시의 연결고리, h
허미션 행렬 & 대칭성
정리

유클리드 벡터 & 힐베르트 상태벡터
상태벡터 & 에너지
유클리드 공간의 벡터 연산
상태벡터의 외적과 내적
상태벡터의 예비 곱셈, 다이애드-곱(dyad-product)
피타고라스 정리에 의한 고차원 공간거리
무한 수직 좌표축
다이애드-곱(dyad-product)과 상태벡터

함수 내적 & 푸리에 급수

벡터함수의 내적
내적 정의
정의 핵심

푸리에 급수 & 직교성
조화 진동방정식 일반해
복합 동적 좌표계
직교하는 복합 축
흑체 내부의 직교 복합파동

힐베르트 공간의 상태벡터 & 내적
직교 상태벡터(k≠ k) & 예외 상태벡터(k= k)
적분 구분 이유
내적 계산을 통한 힐베르트 공간의 증명
상태벡터 기본관계 : k≠ k' & k= k'

힐베르트 공간 & 상태벡터 시스템

허미션 행렬
복소 형태의 푸리에 급수
시공간의 대칭
매개변수 τ

정상상태 & 양자 도약
h : 복소평면의 값
파동역학 기본수식
파동과 입자
양자 도약
방출되는 빛의 세기
입자와 파동의 연결

전자의 스펙트럼 세기
허미션 행렬 구조
양자가설 : 적분 형태
상태벡터의 대칭
역행렬

상수 계수 C & 허수 품은 τ
C(n, n-1) C(n, n+1)의 확률
τ : 가능성을 품은 허수
τ의 물리적 의미
시간과 공간의 파동
과거와 미래의 진동

허미션 행렬

허미션 행렬 구조
켤레 곱셈 대칭
e=1

전치 복소행렬(complex conjugate)
허미션 행렬의 물리량
원래 행렬 복귀 / 복소전치

허미션 행렬 : 복소수 파동
허미션 행렬의 행렬곱셈
벡터의 내적
e=1의 정규화
항등연산자

행렬곱셈과 역행렬
1 = 역행렬
확률 가능성 / τ 값 전자

우주상수 h

대응원리 & 불확정성
보어의 대응원리
하이젠베르크의 불확정성
불확정성 : 양자역학의 기본원리
ħ의 파동성

허미션 행렬 & 슈뢰딩거 파동방정식
미시세계 상태벡터
실숫값 e=1
연산자 & 파동방정식
미분방정식 : 상태벡터

정상상태 & 고윳값 에너지
에너지 평형
전자의 역학적 에너지
위치에너지 : 운동에너지

행렬곱셈
전자의 들 떤 상태
행렬곱셈과 역행렬
대각선 항 & 시공의 조화진동
역행렬 ＆ 에너지 보존법칙

전자의 양자수

플랑크 상수 & 양자 에너지
불연속 에너지 En= nhf
에너지의 연속 = 시공의 연속
에너지 구간 / 알갱이 에너지

흑체복사 곡선
양자수 n으로 구분한 에너지 구간
하이젠베르크의 양자수 n=n'
En=nhf & n=n'

에너지양자

에너지양자 & 양자 요동
에너지양자의 실체, ħ
시공간의 대칭 : 양자 요동
켤레함수

하이젠베르크의 교환연산자
켤레 관계
교환연산자, 복소평면의 관계식
크로네커 델타 & I 연산자

교환연산자 ±iħ & 에너지양자
±iħ(xp-px, px-xp)의 물리적 실체
복소평면의 에너지양자
거시세계의 h
에너지양자의 진동 : 시공간양자의 진동
창발하는 우주

우주 특이점 & 무경계 가설
힐베르트 공간의 우주 특이점
플랑크 질량 : 압축의 최대치
시간양자 공간양자의 조화진동
양자적 특이점(singularity)

디랙의 연산자 방식

조화진동자 해법
디랙 표기법
연산자 해법 과정
방정식 비교

디랙의 연산자 해법
곱셈 순서
xp-px & px-xp 교환관계
바닥 상태의 고유함수 & 고윳값 에너지 E
올림연산자 & 내림연산자 메커니즘

시간과 공간의 양자화

보른의 확률이론
측정에 의한 공간과 시간의 분리
전자의 입자 가능성
푸리에변환과 역변환

힐베르트 공간의 상태벡터
브라(bra)-켓(ket)
상태벡터 & 켤레 상태벡터
브라벡터와 켓 벡터
상태벡터의 절댓값
상태벡터의 직교
힐베르트 공간의 완전성

정상상태의 상태벡터함수 & 전개상수

고유함수 확률
Cn
고유함수 2개

고유함수의 중첩 & 진동수 조건식
전자의 존재 방식
상태벡터의 절댓값
연산자 방식으로 보완한 중첩
에너지 평형
진동수 조건식
주파수 조건식
상태벡터의 중첩
코펜하겐 해석

양자파동의 위상속도 & 군속도
위상속도 & 빛 속도
파동 중첩과 맥놀이
맥놀이 원인
양자파동 적용
양자파동의 위상속도
상대성 4차원 : 힐베르트 4차원

참고 자료

Author

임성민,정문교

자바 프로그래머, 작명가. 서울대학교 공과대학에서 원자핵공학을 공부했고 회계와 관리 업무로 밥벌이를 했다. 내가 사는 세상을 제대로 알고 싶어 물리와 수학을 오래 탐구했고, 인간을 이해하기 위해 운명을 연구한다. 『피타고라스로 푸는 상대성이론』, 『플랑크 상수로 이해하는 양자역학』, 『운명의 발견』 등을 썼고 물리 수학 관련, 원고를 쓰고 있다.