대학 때 놓친 수학
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| Publication Date | 2023/12/29 |
| Pages/Weight/Size | 188*235*29mm |
| ISBN | 9791161758091 |
| Categories | 자연과학 |
Description
수학 전분야를 다룬 이 책은 수학과 대학원생들의 입문서로 쓰였지만, 물리학, 전자공학, 기계공학, 산업공학, 컴퓨터과학, 최근의 AI, 양자컴퓨터 등의 분야의 진지한 연구자라면 도전해 볼만한 책이다. 계산적 능력보다는 이론의 배경이 되는 수학적 직관에 중점을 두고 있으며, 정확한 정의와 이를 뒷받침하는 정리들과 예제들과 연습문제들이 균형있게 이론을 확립하게 한다. 이 책을 통해 독자들도 수학의 모든 분야를 맛보는 재미에 빠져들기를 바란다.
Contents
1장. 선형 대수학
1.1 개요
1.2 기본 벡터 공간
1.3 벡터 공간과 선형 변환
1.4 기저, 차원, 행렬로서의 선형 변환
1.5 디터미넌트
1.6 선형 대수의 핵심 정리
1.7 닮음 행렬
1.8 고유값과 고유벡터
1.9 쌍대 벡터 공간
1.10 참고 서적
연습 문제
2장. ?, δ 실해석학
2.1 극한
2.2 연속성
2.3 미분
2.4 적분
2.5 미적분의 기본 정리
2.6 함수의 점별 수렴
2.7 균등 수렴
2.8 바이어슈트라스 M - 판정법
2.9 바이어슈트라스의 예제
2.10 참고 서적
연습 문제
3장 벡터 함수의 미적분
3.1 벡터 함수
3.2 벡터 함수의 극한과 연속
3.3 미분과 야코비안
3.4 역함수 정리
3.5 음함수 정리
3.6 참고 서적
연습 문제
4장. 점 집합 위상 수학
4.1 기본 정의
4.2 상의 표준 위상
4.3 거리 공간
4.4 위상의 기저
4.5 교환 링의 자리스키 위상
4.6 참고 서적
연습 문제
5장. 고전적 스톡스 정리
5.1 벡터 미적분 예비 지식
5.1.1 벡터장
5.1.2 다양체와 경계
5.1.3 경로 적분
5.1.4 표면 적분
5.1.5 기울기
5.1.6 발산
5.1.7 회전
5.1.8 방향성
5.2 발산 정리와 스톡스 정리
5.3 발산 정리의 물리적 해석
5.4 스톡스 정리의 물리적 해석
5.5 발산 정리의 개략적 증명
5.6 스톡스 정리의 개략적 증명
5.7 참고 서적
연습 문제
6장. 미분 형식과 스톡스 정리
6.1 평행 육면체의 부피
6.2 미분 형식과 외미분
6.2.1 기초적 k - 형식
6.2.2 k - 형식의 벡터 공간
6.2.3 k - 형식 다루기 규칙
6.2.4 미분 k - 형식과 외미분
6.3 미분 형식과 벡터장
6.4 다양체
6.5 접선 공간과 방향
6.5.1 내재적 다양체와 매개변수적 다양체의 접선 공간
6.5.2 추상 다양체에 대한 접선 공간
6.5.3 벡터 공간의 방향
6.5.4 다양체의 방향과 경계
6.6 다양체의 적분
6.7 스톡스 정리
6.8 참고 서적
연습 문제
7장. 곡선과 곡면의 곡률
7.1 평면 곡선
7.2 공간 곡선
7.3 곡면
7.4 가우스 - 본네 정리
7.5 참고 서적
연습 문제
8장. 기하학
8.1 유클리드 기하학
8.2 쌍곡선 기하학
8.3 타원 기하학
8.4 곡률
8.5 참고 서적
연습 문제
9장. 가산성과 선택 공리
9.1 가산성
9.2 소박한 집합론과 역설
9.3 선택 공리
9.4 측정 불가능한 집합
9.5 괴델과 독립 증명
9.6 참고 서적
연습 문제
10장. 기초적 수론
10.1 수의 유형
10.2 소수
10.3 나눗셈 알고리듬과 유클리드 알고리듬
10.4 모듈러 산술
10.5 디오판토스 방정식
10.6 피타고라스의 삼중 수
10.7 연분수
10.8 참고 서적
연습 문제
11장. 대수학
11.1 그룹
11.2 표현이론
11.3 링
11.4 필드와 갈루아 이론
11.5 참고 서적
연습 문제
12장. 대수적 수론
12.1 대수적 수 필드
12.2 대수적 정수
12.3 단위
12.4 소수와 고유한 인수분해 문제
12.5 참고 서적
연습 문제
13장. 복소 해석학
13.1 극한으로서의 해석성
13.2 코시 - 리만 방정식
13.3 함수의 적분 표현
13.4 멱급수로서의 해석 함수
13.5 공형 사상
13.6 리만 사상 정리
13.7 다수 복소 변수: 하르톡의 정리
13.8 참고 서적
연습 문제
14장. 해석적 수론
14.1 리만 제타 함수
14.2 리만의 통찰력
14.3 감마 함수
14.4 함수방정식: 숨겨진 대칭
14.5 π(x)와 ??(s)의 영점 연결
14.6 참고 서적
연습 문제
15장. 르베그 적분
15.1 르베그 측도
15.2 칸토어 집합
15.3 르베그 적분
15.4 수렴 정리
15.5 참고 서적
연습 문제
16장. 푸리에 해석학
16.1 파동과 주기 함수 그리고 삼각 함수
16.2 푸리에 급수
16.3 수렴에 관한 쟁점
16.4 푸리에 적분과 변환
16.5 미분 방정식의 해 구하기
16.6 참고 서적
연습 문제
17장. 미분 방정식
17.1 기초
17.2 상미분 방정식
17.3 라플라스 작용소
17.3.1 평균값 원리
17.3.2 변수 분리법
17.3.3 복소 해석학에의 응용
17.4 열 방정식
17.5 파동 방정식
17.5.1 유도
17.5.2 변수 변환
17.6 해의 실패: 적분 가능 조건
17.7 레비의 예
17.8 참고 서적
연습 문제
18장. 조합론과 확률론
18.1 셈법
18.2 기본 확률 이론
18.3 독립
18.4 기대값과 분산
18.5 중심 극한 정리
18.6 n!에 대한 스털링의 근사화
18.7 참고 서적
연습 문제
19장. 알고리듬
19.1 알고리듬과 복잡성
19.2 그래프: 오일러 회로와 해밀톤 회로
19.3 소팅과 트리
19.4 P=NP?
19.5 수치 해석학: 뉴턴의 방법
19.6 참고 서적
연습 문제
20장. 범주론
20.1 기본 정의
20.2 예제
20.3 함자
20.3.1 동등성 문제와의 연결
20.3.2 함자의 정의
20.3.3 함자의 예
20.4 자연 변환
20.5 수반
20.6 수반으로서 ‘존재한다’와 ‘모든 …에 대해’
20.7 요네다 보조 정리
20.8 화살표, 화살표들, 모든 곳의 화살표들
20.9 참고 서적
연습 문제
부록
연습 문제
1.1 개요
1.2 기본 벡터 공간
1.3 벡터 공간과 선형 변환
1.4 기저, 차원, 행렬로서의 선형 변환
1.5 디터미넌트
1.6 선형 대수의 핵심 정리
1.7 닮음 행렬
1.8 고유값과 고유벡터
1.9 쌍대 벡터 공간
1.10 참고 서적
연습 문제
2장. ?, δ 실해석학
2.1 극한
2.2 연속성
2.3 미분
2.4 적분
2.5 미적분의 기본 정리
2.6 함수의 점별 수렴
2.7 균등 수렴
2.8 바이어슈트라스 M - 판정법
2.9 바이어슈트라스의 예제
2.10 참고 서적
연습 문제
3장 벡터 함수의 미적분
3.1 벡터 함수
3.2 벡터 함수의 극한과 연속
3.3 미분과 야코비안
3.4 역함수 정리
3.5 음함수 정리
3.6 참고 서적
연습 문제
4장. 점 집합 위상 수학
4.1 기본 정의
4.2 상의 표준 위상
4.3 거리 공간
4.4 위상의 기저
4.5 교환 링의 자리스키 위상
4.6 참고 서적
연습 문제
5장. 고전적 스톡스 정리
5.1 벡터 미적분 예비 지식
5.1.1 벡터장
5.1.2 다양체와 경계
5.1.3 경로 적분
5.1.4 표면 적분
5.1.5 기울기
5.1.6 발산
5.1.7 회전
5.1.8 방향성
5.2 발산 정리와 스톡스 정리
5.3 발산 정리의 물리적 해석
5.4 스톡스 정리의 물리적 해석
5.5 발산 정리의 개략적 증명
5.6 스톡스 정리의 개략적 증명
5.7 참고 서적
연습 문제
6장. 미분 형식과 스톡스 정리
6.1 평행 육면체의 부피
6.2 미분 형식과 외미분
6.2.1 기초적 k - 형식
6.2.2 k - 형식의 벡터 공간
6.2.3 k - 형식 다루기 규칙
6.2.4 미분 k - 형식과 외미분
6.3 미분 형식과 벡터장
6.4 다양체
6.5 접선 공간과 방향
6.5.1 내재적 다양체와 매개변수적 다양체의 접선 공간
6.5.2 추상 다양체에 대한 접선 공간
6.5.3 벡터 공간의 방향
6.5.4 다양체의 방향과 경계
6.6 다양체의 적분
6.7 스톡스 정리
6.8 참고 서적
연습 문제
7장. 곡선과 곡면의 곡률
7.1 평면 곡선
7.2 공간 곡선
7.3 곡면
7.4 가우스 - 본네 정리
7.5 참고 서적
연습 문제
8장. 기하학
8.1 유클리드 기하학
8.2 쌍곡선 기하학
8.3 타원 기하학
8.4 곡률
8.5 참고 서적
연습 문제
9장. 가산성과 선택 공리
9.1 가산성
9.2 소박한 집합론과 역설
9.3 선택 공리
9.4 측정 불가능한 집합
9.5 괴델과 독립 증명
9.6 참고 서적
연습 문제
10장. 기초적 수론
10.1 수의 유형
10.2 소수
10.3 나눗셈 알고리듬과 유클리드 알고리듬
10.4 모듈러 산술
10.5 디오판토스 방정식
10.6 피타고라스의 삼중 수
10.7 연분수
10.8 참고 서적
연습 문제
11장. 대수학
11.1 그룹
11.2 표현이론
11.3 링
11.4 필드와 갈루아 이론
11.5 참고 서적
연습 문제
12장. 대수적 수론
12.1 대수적 수 필드
12.2 대수적 정수
12.3 단위
12.4 소수와 고유한 인수분해 문제
12.5 참고 서적
연습 문제
13장. 복소 해석학
13.1 극한으로서의 해석성
13.2 코시 - 리만 방정식
13.3 함수의 적분 표현
13.4 멱급수로서의 해석 함수
13.5 공형 사상
13.6 리만 사상 정리
13.7 다수 복소 변수: 하르톡의 정리
13.8 참고 서적
연습 문제
14장. 해석적 수론
14.1 리만 제타 함수
14.2 리만의 통찰력
14.3 감마 함수
14.4 함수방정식: 숨겨진 대칭
14.5 π(x)와 ??(s)의 영점 연결
14.6 참고 서적
연습 문제
15장. 르베그 적분
15.1 르베그 측도
15.2 칸토어 집합
15.3 르베그 적분
15.4 수렴 정리
15.5 참고 서적
연습 문제
16장. 푸리에 해석학
16.1 파동과 주기 함수 그리고 삼각 함수
16.2 푸리에 급수
16.3 수렴에 관한 쟁점
16.4 푸리에 적분과 변환
16.5 미분 방정식의 해 구하기
16.6 참고 서적
연습 문제
17장. 미분 방정식
17.1 기초
17.2 상미분 방정식
17.3 라플라스 작용소
17.3.1 평균값 원리
17.3.2 변수 분리법
17.3.3 복소 해석학에의 응용
17.4 열 방정식
17.5 파동 방정식
17.5.1 유도
17.5.2 변수 변환
17.6 해의 실패: 적분 가능 조건
17.7 레비의 예
17.8 참고 서적
연습 문제
18장. 조합론과 확률론
18.1 셈법
18.2 기본 확률 이론
18.3 독립
18.4 기대값과 분산
18.5 중심 극한 정리
18.6 n!에 대한 스털링의 근사화
18.7 참고 서적
연습 문제
19장. 알고리듬
19.1 알고리듬과 복잡성
19.2 그래프: 오일러 회로와 해밀톤 회로
19.3 소팅과 트리
19.4 P=NP?
19.5 수치 해석학: 뉴턴의 방법
19.6 참고 서적
연습 문제
20장. 범주론
20.1 기본 정의
20.2 예제
20.3 함자
20.3.1 동등성 문제와의 연결
20.3.2 함자의 정의
20.3.3 함자의 예
20.4 자연 변환
20.5 수반
20.6 수반으로서 ‘존재한다’와 ‘모든 …에 대해’
20.7 요네다 보조 정리
20.8 화살표, 화살표들, 모든 곳의 화살표들
20.9 참고 서적
연습 문제
부록
연습 문제