복소 해석과 응용

『복소 해석과 응용』은 자연과학과 공학 분야에서 폭넓게 사용되며 해석적인 문제를 다룰 때 아주 효과적인 방법을 제공하는 복소함수의 기초적이며 일반적인 성질을 다루는 책이다. 복소변수를 이용하면 실변수만을 이용하였을 때에는 얻을 수 없었던 성질들을 얻을 수 있으며, 이러한 것들을 이용하여 실변수 함수를 더욱 간편하게 계산하고 복잡한 문제들을 쉽게 풀어볼 수 있는 장점이 있다. 허수는 현실에 존재하지 않고 우리가 감각적으로 경험할 수 없지만, 훌륭하게 정의된 수학적 개념이다. 허수는 수학적 장치이므로 물리적인 현현을 필요로 하지 않는다. 그러나 수의 개념을 실수에서 허수의 영역까지 넓게 확장함으로써, 현실의 물리적인 문제를 훨씬 효율적으로 해결할 수 있게 해준다.

이 책은 총 일곱 장으로 구성되어 있다. 제1장에서는 제곱을 하면 음이 되는 허수를 이용하여 복소수의 개념을 도입하고 그 기초를 배운다. 복소 해석학의 기초는 기하학적인 틀에서 고려하면 이해하기가 쉬우므로 실수축과 허수축으로 구성된 아르강 도표를 도입하여 복소수의 극좌표계 표현, 다중값 성질, 오일러 공식 등을 소개하고 있다. 제2장에서는 복소공간에서 정의되는 해석함수와 특이점의 종류 및 성질 등을 배우고, 가지점 및 가지자름의 개념에 대하여 배운다. 제3장에서는 경로적분과 코시의 적분을 배우며 경로 변형의 원리를 이용하여 복소공간에서의 해석함수의 적분법에 대하여 학습하도록 한다. 제4장에서는 복소함수의 테일러 전개와 고립된 특이점에서의 로랑 전개에 대하여 배우는데, 이것은 다음 장에서 배우게 될 유수정리의 중요한 기초가 된다. 제5장에서는 복소 해석의 아주 중요한 이론인 유수정리에 대하여 학습하고 이를 이용하여 다양한 실함수의 적분 계산에 응용하는 방법을 배운다. 제6장에서는 어느 한 복소공간에서 정의된 함수를 공간 관계를 이용하여 다른 복소공간에서 어떻게 표현할 수 있는가를 소개하고 있다. 제7장은 지금까지 배운 복소함수 이론을 이용하여 유체역학, 전자기학, 고전역학 등의 다양한 분야의 문제를 풀어보고, 특히 베셀 함수, 르장드르 함수 등 이공계에서 자주 쓰이는 특수함수를 복소함수의 경로적분 형태로 표현하는 법을 배우고, 푸리에 변환을 이용하여 여러 상황에서의 미분방정식의 해법, 그리고 끝으로 불확정성의 원리에 대한 고찰을 논한다.