대수학에 관한 연구

기하학에 『유클리드 원론』이 있다면
대수학에는 피콕의 『대수학에 관한 연구』가 있다

『대수학에 관한 연구(A Treatise on Algebra)』(1830)는 『유클리드 원론』이 기하학의 기반을 다진 것처럼 대수학을 체계적으로 정리하는 것을 목표로 하였다. 교육 개혁에 대한 강한 열망에서 비롯한 그의 저술은 엄격하게 논리적인 기초 위에 대수학을 배치했다고 평가받는다. 조지 피콕은 대수학의 한 부분이 산술적이 아닐 수 있는 가능성을 처음으로 인식하고 산술적 부분을 더욱 발전시키는 데 도움을 주어 많은 미래의 수학자들이 추상 대수학을 연구하는 데 노둣돌의 역할을 하였다. 이 책은 1837년에 피콕이 케임브리지 대학교의 천문학 교수로 임명되고 1839년에 케임브리지 교구인 엘리의 사제로 부임한 이후에 산술 대수학(Arithmetical Algebra)과 기호 대수학(Symbolical Algebra)이라는 두 권의 대수학 교과서로 개정 출판되는데, 이로써 피콕은 대수학이 산술 대수학과 기호 대수학의 두 부분으로 구성되며, 과학을 산술 부분으로만 제한하는 것은 오류가 있다고 주장한다. 피콕의 견해는 다음과 같다.

“산술 대수에서 a가 b보다 작은 경우 a-b는 불가능한 양으로 생각되어 왔다. 왜냐하면 -로 표현되는 연산은 위와 같은 상황에서 의미를 줄 수 없기 때문이다. 이러한 이유로, 일반화된 기호라 하더라도, a와 b를 고려할 때 위치에 따른 상대적인 크기에 제한을 두게 된다. 그러나 이들 기호와 관련된 일반화는, 기호 스스로 제한된 경우를 제외하고는, 그 값에 있어서 모든 제한을 금지하고 있다. 그리고 기호 a와 b에 대해, 더 큰지, 더 작은지에 관한 제한이 없는 경우, 기호 대수에서는 a가 b보다 더 크거나 b가 a보다 더 작은지에 상관없이 a-b가 동등하게 가능하여야 한다.” - 조항 74, 99쪽